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Definition Lineare Approximation

f(x⃗)≈f(x⃗)+<grad(f)∣x0,(x−x0)>f(\vec x) \approx f(\vec x) + < \text{grad}(f)\big|_{x_{0}}, (x-x_0)>
(1)

Bzw.

f(x⃗)≈f(x0,y0)+∂f∂x∣x0,y0(x−x0)+∂f∂y∣x0,y0(y−y0)+…f(\vec x) \approx f(x_{0}, y_{0}) + \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{x_{0}, y_{0}}(x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}\bigg|_{x_{0}, y_{0}}(y-y_{0}) + \dots
(2)

Vorgehensweise

  1. Gradient gradf\text{grad}f bestimmen
  2. Gegebenen Punkt in bestimmten Gradient einsetzen, d.h. gradf∣P\text{grad}f\big|_P und prüfen, dass gradf∣P≠O⃗\text{grad}f\big|_{P}\neq \vec O
  3. Berechnen von gradf∣P⋅(x⃗−P)\text{grad}f\big|_{P} \cdot (\vec x - P)

Übung

Bestimmen der linearen Approximation von

f(x,y,z)=x2+2y2+4z2−1=0f(x,y,z) = x^{2}+2y^{2}+4z^{2}-1=0
(3)

an der Stelle P=(12,0,18)∈fP=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{8}}\right)\in f

Lösung
2x+22z=2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}z=2
(4)

Bestimmen der linearen Approximation von

f(x,y,z)=x3−3xy2−zf(x,y,z) = x^{3}-3xy^{2}-z
(5)

an der Stelle P=(2,1,2)∈fP=(2,1,2)\in f

Lösung
9x−12y−z=49x-12y-z=4
(6)
Mathematik I: Analysis
Rotation
Mathematik I: Analysis
Lokale Extrema