Partielles Ableiten - Mathematik I: Analysis

Voraussetzung¶

Funktion ist (an der Stelle) stetig

Es gelten wie bei normaler Ableitung Regeln bezüglich:

Für die Verkettung zweier Funktionen $f,g$ gilt allgemein:

D(f \circ g) = \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\bigg|_{g(x)} \cdot \frac{\partial g}{\partial x_{i}}

D.h. für eine Funktion $h(r, \varphi)=f(x, y) \circ f(r, \varphi)$ wird berechnet:

\begin{align*}\frac{\partial h}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial g_{1}}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial g_{2}}{\partial r} \\ \frac{\partial h}{\partial \varphi} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial g_{1}}{\partial \varphi} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial g_{2}}{\partial \varphi}\end{align*}

Ableiten der Funktion $f$ nach allen Komponenten, ableiten der Funktionen $g_{1}, g_{2}, \dots$ nach gewünschter Komponente

Alle partiellen Ableitungen an Stelle $(1,1,1)$ berechnen

f(x,y,z) = \ln(1+x+y^2+z^3)

Lösung

\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{1}{x+3} \, \bigg|_{(1,1,1)} &= \frac{1}{4} \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= \frac{2y}{y^{2}+3} \! \bigg|_{(1,1,1)} &= \frac{1}{2} \\ \frac{\partial f}{\partial z} &= \frac{3z^{2}}{z^{3}+3} \! \bigg|_{(1,1,1)} &= \frac{3}{4} \\ \end{align*}