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Definition

  • Alle partiellen Ableitungen existieren und sind stetig
  • Alle Richtungsableitungen sind Linearkombination der partiellen Ableitungen mit Koeffizienten des Richtungsvektors

Implikationen

  • Wenn Funktion total differenzierbar ist, folgt daraus, dass alle Richtungsableitungen existieren. Die Funktion ist somit partiell ableitbar
  • Wenn Funktion partiell ableitbar ist und alle Ableitungen stetig sind, so folgt daraus, dass sie total differenzierbar ist

Übung

Untersuchen, ob

f(x,y)=y3x2+y2∣(0,0)f(x, y) = \frac{y^3}{x^2+y^2}\bigg|_{(0,0)}
(1)

stetig, partiell ableitbar, Richtungsableitung existiert und total differenzierbar. Es gilt: f(0,0)=0f(0,0) = 0

Herangehensweise Stetigkeit

Hier wichtig: x2+y2x^2+y^2 im Nenner Bei solchen Nennern immer in Polarkoordinaten umformen (x=r⋅cos⁡(φ)x = r \cdot \cos(\varphi), y=r⋅sin⁡(φ))y= r \cdot \sin(\varphi)) und für Stetigkeit mit lim⁡r→0\lim\limits_{r \to 0} rechnen

Lösung
  1. Stetigkeit: Stetig in f(0,0)f(0,0)
  2. Partielle Ableitungen:
    ∂f∂x=0∂f∂y=1\begin{align*}\frac{\partial f}{\partial x} &= 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= 1 \end{align*}
    (2)
  3. Richtungsableitung: v23v_{2}^{3}
  4. Totale Differenzierbarkeit: Dvf(x,y)=v2D_vf(x,y) = v_2, nicht total differenzierbar
Mathematik I: Analysis
Richtungsableitung
Mathematik I: Analysis
Divergenz