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Vorgehensweise

  • Aufstellen einer Funktion der Form F(x,y,… )+λg(x)F(x, y, \dots) + \lambda g(x)
  • Berechnen des Gradienten der Funktion
  • Aufstellen eines Gleichungssystems gradF=O⃗\text{grad}F = \vec O
  • Lösen des Gleichungssystems nach x,y,…x,y, \dots (Lösen nach λ optional)
  • Einsetzen in Ausgangsfunktion, um Lösung zu bestimmen

Übung

F(x,y)=x⋅y2,x+y=1F(x,y) = x \cdot y^{2}, \quad x+y = 1
(1)
Lösung
  • x⋅y2+λ(x+y−1)x \cdot y^{2}+ \lambda (x+y-1)
  • x=1,y=0:F(1,0)=0x=1, y=0: F(1, 0) = 0
  • x=13,y=23:F(13,23)=427x = \frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}: F\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)=\frac{4}{27}
F(x,y,z)=5x+y−3z,E:x+y+z=0,K:x2+y2+z2=1F(x,y,z) = 5x+y-3z, \quad E: x+y+z=0, \quad K: x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1
(2)
Klausuraufgabe

Evtl. nur mit linearem Gleichungssystem und keinem quadratischen (weil leichter lösbar, ohne Trrrrick)

Lösung
  • 5x+y−3z+λ(x+y+z)+μ(x2+y2+z2−1)5x+y-3z+\lambda(x+y+z)+\mu(x^{2}+ y^{2}+z^{2}-1)
  • x=12,y=0,z=−12:F(x,y,z)=2x=\frac{1}{\sqrt{2}}, y=0, z=- \frac{1}{\sqrt{2}}: F(x,y,z) = \sqrt{2}
Mathematik I: Analysis
Auflösen impliziter Funktionen
Mathematik I: Analysis
Differentialgleichungen