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Definition implizite Funktion

Funktion der Form

F(x,y)−c=0bzw.F(x,y)=cF(x,y)-c = 0 \quad \text{bzw.} \quad F(x,y) = c
(1)

Vorgehensweise

  • Bestimmen eines Punktes P(x,y)P(x,y), sodass F(x,y)=0F(x,y) = 0 (ggf. gegeben)
  • Ableiten von FF nach x,yx,y
  • Überprüfen, dass ∂F∂y∣P≠0\frac{\partial F}{\partial y}\big|_{P} \neq 0
  • Bestimmen von
    f′(x)=−∂F∂x∂F∂yf'(x) = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
    (2)

Beispiel

F(x,y)=esin⁡(xy)+x2−2y−1=0F(x,y) = e^{\sin(xy)}+x^{2}-2y-1= 0
(3)
Lösung
  • F(0,0)=0F(0,0) = 0
  • ∂F∂x∣P=0\frac{\partial F}{\partial x}\big|_P = 0
  • ∂F∂y∣P=−2\frac{\partial F}{\partial y}\big|_P = -2
  • f′(x)=0f'(x) = 0

Übung

Bestimmen der Auflösungen für zz

F(x,y,z)=x4+2xcos(y)+sin(z)=0F(x,y,z) = x^{4}+2xcos(y)+sin(z) = 0
(4)
Hinweis

Es ergeben sich im Rn\mathbb{R}^{n} immer n−1n-1 Auflösungen, hier also 2.

Diese bestimmen sich durch −∂F∂x∂F∂,−∂F∂y∂F∂z-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial }}, -\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}} (FF nach allen Komponenten (außer aufzulösender) partiell ableiten und durch FF abgeleitet nach der aufzulösenden Komponente teilen)

Lösung
  • F(0,0)=0F(0,0) = 0
  • ∂z∂x∣P=−2cos⁡(1)\frac{\partial z}{\partial x}\big|_P = -2\cos(1)
  • ∂z∂y∣P=0\frac{\partial z}{\partial y}\big|_P = 0
  • f′(x)=0f'(x) = 0
Mathematik I: Analysis
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Extrema mit Nebenbedingungen