Mehrfachintegrale - Mathematik I: Analysis

Voraussetzung¶

$f(x,y)$ stückweise stetig

es gilt: wenn die Grenzen unabhängig von den Integrationsvariablen sind, so kann die Reihenfolge der Integration beliebig getauscht werden

\int\limits_{a}^{b}\int\limits_{c}^{d}f(x,y) \space dydx = \int\limits_{c}^{d}\int\limits_{a}^{b}f(x,y) \space dxdy

\begin{align*}\text{Area}(A) = \underset{A}{\int\int} 1 \space dxdy\\ \text{Vol}(V) = \underset{V}{\int\int\int} 1 \space dxdy\end{align*}

\begin{align*}x^{2}+y^{2}\leq r^{2} &\leadsto -\sqrt{r-x^2} \leq y \leq \sqrt{r-x^{2}}\\ \varphi(r,s) &= (r \cos(s), \space r \sin(s))\\ \text{det}|D_{\varphi}| &= r \end{align*}

\begin{align*}ax^{2}+by^{2}\leq r^{2} &\leadsto \sqrt{\frac{d}{ab}} \leq r \leq \sqrt{\frac{c}{ab}}\\ \varphi(r,s) &= (r \sqrt{b} \cos(s), \space r \sqrt{a} \sin(s))\\ \text{det}|D_{\varphi}| &= \sqrt{ab}\cdot r \end{align*}

es gilt:

\underset{A}{\int\int} f(x,y) \space dxdy = \underset{\varphi(A)}{\int\int} f(\varphi) \cdot | \text{det} \space D_{\varphi}| \space dsdr

Kreisfläche mit

1 \leq r \leq 2, \quad 0 \leq s \leq \frac{\pi}{2}, \quad f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+ y^{2}}}

Lösung

A = \frac{\pi}{2}

Ellipse mit

\begin{align*}A &= \set{(x,y) \space | \space 4 \leq x^{2}+4y^{2} \leq 16}\\ f(x,y) &= \frac{1}{(x^{2}+4y^{2})^{2}}\end{align*}

Lösung

A = \frac{3\pi}{32}