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Definition

Lokales Maximum:

∃U(x⃗0)∀x⃗∈U(x0):f(x⃗)≤f(x0)\exists U(\vec x_{0})\forall\vec x \in U(x_{0}): f(\vec x) \leq f(x_{0})
(1)

Alle Funktionswerte in einer kleinen Umgebung sind geringer

Lokales Maximum:

∃U(x⃗0)∀x⃗∈U(x0):f(x⃗)≥f(x0)\exists U(\vec x_{0})\forall\vec x \in U(x_{0}): f(\vec x) \geq f(x_{0})
(2)

Alle Funktionswerte in einer kleinen Umgebung sind größer

Vorgehensweise

  1. grad(f)\text{grad}(f) bestimmen
  2. Punkte P1,…,PnP_{1}, \dots, P_{n} bestimmen, für die grad(f)=!0⃗\text{grad}(f) =^{!} \vec 0 (via Gleichungssystem)
  3. Hesse-Matrix HH bestimmen
  4. det⁡(H)∣Pi\det(H)\big|_{P_{i}} bestimmen:
    det⁡(H)∣Pi{<0  ⟹  Sattelpunkt>0  ⟹  lok. Extremum\det(H)\big|_{P_{i}} \begin{cases} <0 \implies \text{Sattelpunkt} \\ >0 \implies \text{lok. Extremum} \end{cases}
    (3)
  5. Wenn lok. Extremum:
    h11{>0  ⟹  Minimum<0  ⟹  Maximumh_{11} \begin{cases} >0 \implies \text{Minimum} \\ <0 \implies \text{Maximum}\end{cases}
    (4)

Übung

Bestimmen der Extrema und Sattelpunkte für:

f(x,y)=x3+y3−3xyf(x,y) = x^{3}+y^{3}-3xy
(5)
Lösung
  • Sattelpunkt S(0,0)S(0,0)
  • Minimum M(1,1)M(1,1) mit f(M)=−1f(M) = -1
f(x,y)=x2+xy+y2+x+y+1f(x, y) = x^2+xy+y^2+x+y+1
(6)
Lösung
  • Minimum M(−13,−13)M(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}) mit f(M)=23f(M) = \frac{2}{3}
f(x,y)=1y−1x−4x+yf(x,y) = \frac{1}{y}- \frac{1}{x} -4x+y
(7)
Lösung
  • Sattelpunkte S1(12,1),S2(−12,−1)S_{1}(\frac{1}{2},1), S_{2}(\frac{-1}{2}, -1)
  • Maximum Max(12,−1)M_{ax}(\frac{1}{2}, -1) mit f(Max)=−2f(M_{ax}) = -2
  • Minimum Min(−12,1)M_{in}(- \frac{1}{2}, 1) mit f(Min)=2f(M_{in}) = 2
Mathematik I: Analysis
Approximationen
Mathematik I: Analysis
Auflösen impliziter Funktionen